حساب اعداد و مبناها

حساب اعداد و مبناها

فایل ورد قابل ویرایش

-1- كدها و كدگذاري

كدگذاري، شيوه مناسبي براي نمايش و انتقال اطلاعات است. از كدهاي دودويي يا باينري براي انتقال و نمايش اطلاعات استفاده مي­شود. بدين ترتيب امكان پردازش رايانه بر داده­هاي عددي و غيرعددي فراهم مي­آيد.

به نظر شما پاسخ عمل جمع زير چيست؟

1001000111+

1101100010 

احتمالا خواهيد گفت 2102100121، اما كمي صبر كنيد. دادن

پاسخ به اين سئوال به اين بستگي دارد كه بدانيم اين اعداد در چه مبنائي قرار دارند! ما در حساب معمولي محاسبات را در مبناي ده انجام مي­دهيم. اما رايانه اين كار را در مبناي دو انجام مي­دهد.

10-1-1- مبنا چيست؟

مبناي ده، يعني اين كه ما براي نمايش اعداد،‌ ده رقم داشته باشيم. فرق رقم و عدد چيست؟ يك عدد، از ارقام تشكيل شده است. ارقام در مبناي ده، عبارتند از 0،‌ 1،‌ ...،‌ 8،‌ 9 .

وقتي مي­گوئيم ده رقم داريم، يعني وقتي يكي يكي به يك عدد اضافه مي­كنيم، وقتي به 9 رسيد، عدد يكان صفر مي­شود و عدد دهگان يكي اضافه مي­شود. همين كار در سطوح بعدي هم اتفاق مي­افتد. (يك شمارنده كيلومتر شمار را مجسم كنيد.)

اما اگر كيلومتر شماري داشته باشيم كه تنها دو رقم داشته باشد (0 و 1)، چه اتفاقي در شمارش مي­افتد؟ تغييرات را به ترتيب مي­نويسيم (وقتي يكي يكي اضافه مي­كنيم) :

0000000

0000001

0000010

0000011

0000100

اين يك شمارنده در مبناي دو است. عدد آخري هم صد نيست، بلكه يك، صفر، صفر است. حال بيائيد دو شمارنده مبناي دو و مبناي ده را با هم از صفر، يكي يكي در كنار هم افزايش دهيم:

0000000              0000

0000001              0001

0000010              0002

0000011              0003

0000100              0004

مشاهده مي­كنيد كه عدد 100 در مبناي دو معادل 4 در مبناي ده است. كدگذاري بر مبناي ده (ده­دهي)، يكي از انواع كدهاي متداول، است. اين مبنا به دليل اينكه ما انسانها از ابتدا حساب را بر آن ياد گرفته­ايم، قابل فهم و درك براي ما است. دليل اصلي آن هم، احتمالا تعداد انگشتان دست يك انسان است. (احتمالا اگر در سياره­اي موجودي با 4 انگشت در هر دست و 3 دست زندگي كند، مبناي محاسبات 12 خواهد بود!!). در حاليكه انسان از حساب مبناي 10 (ده­دهي) استفاده مي­كند، رايانه­ها سيستم مبناي دو (دودويي) را بكار مي­برند.

10-1-2- چرا مبناي 2

 ممكن است اين سؤال مطرح شود كه چرا در رايانه، از سيستم اعداد دودويي استفاده مي­شود. پاسخ اين است، با توجه به ساده­ترين مدار الكترونيكي كه يك كليد شامل حالتهاي روشن و خاموش است، نگهداري اعداد در رايانه بر مبناي سطوح ولتاژ روشن و خاموش، شامل دو حالت 0 و1 است. بنابراين امكان نمايش دو رقم 0 و 1، ما را به انجام عمليات در مبناي دو سوق مي دهد. البته مي­توان رايانه­هايي ساخت که از مبنای ده استفاده نمايند، ولی اين كار مشكلات فني خاصي را تحميل مي‌كند كه بحث آن در گنجايش اين كتاب نيست (البته رايانه هاي با مبناي ده هم در مواردي ساخته شده اند).

در مبنای دو از دو رقم صفر و يک (ارقام باينری) استفاده می­شود. رايانه­ها براي شناسايي اعداد و انجام محاسبات بر روي آنها، با تركيبي از مقادير صفر و يك، عمليات مختلفي را انجام مي­دهند. در واقع در رايانه همه چيز از جمله اعداد، آدرس بخشهاي مختلف، نوع دستورالعملها و ... همگي با يك سري اعداد دودويي بيان مي­شوند. اين همان معناي ساختار رقمي (ديجيتالي) رايانه­ها است.

10-2- سيستم اعداد دودويي

در سيستم مبناي 10، ده نماد جدا از هم يعني 0و1و2و ... و 9 براي توليد اعداد وجود دارند. در حاليكه در سيستم دودويي تنها دو نماد 0 و 1 موجود است. براي كار بر روي سيستم اعداد دودويي لازم است تا با تبديل ده­دهي به دودويي، و برعكس آشنا شويم و سپس چگونگي انجام عمليات اصلي رياضي بر روي اعداد دودويي را بررسي كنيم.

10-2-1- تبديل از ده­دهي به دودويي

يكي را­ه­هاي معمول براي اين تبديل، انجام تقسيمات متوالي بر 2 است. طي اين تقسيم، باقي­مانده­ها مورد استفاده قرار مي­گيرند و عدد دودويي را توليد مي­كنند. تقسيمات تا صفر شدن خارج قسمت ادامه پيدا مي­كند. سپس باقي­مانده­ها به صورت معكوس بدنبال هم نوشته مي­شوند تا عدد دودويي حاصل شود.